Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним

16 февраля 2021
ИЗДАНИЕ

Издательство Corpus представляет книгу Дэвида Дарлинга и Агниджо Банерджи «Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним» (перевод Алексея Глущенко).

Автор множества научно-популярных книг, астроном и музыкант Дэвид Дарлинг и необычайно одаренный молодой математик Агниджо Банерджи, в тринадцать лет набравший максимально возможное количество баллов в IQ-тесте общества интеллектуалов Менса, представляют свежий взгляд на мир математики. Вместе они бесстрашно берутся объяснить самые странные, экзотические и удивительные проблемы математики нашего времени. Спектр обсуждаемых тем широк: от высших измерений, хаоса, бесконечности и парадоксов до невообразимо огромных чисел, музыки, сложных игр. А главное — всё это оказывается неразрывно связанным с нашей повседневной жизнью. Отличная книга для всех, кто интересуется наукой, ведь математика — «основа окружающего нас физического мира, его невидимая инфраструктура».

Предлагаем прочитать отрывок из главы «Как увидеть четырехмерное пространство».

Из-за неспособности представить себе, как могут выглядеть тела в более многомерном мире, у нас возникает соблазн считать четвертое измерение чем-то таинственным, находящимся за гранью известного нам мира. А вот у математиков работа с четырехмерными объектами и пространствами не вызывает никаких затруднений — для того чтобы описать их свойства, математикам вовсе нет необходимости представлять, как те выглядят. Эти свойства можно рассчитать с помощью алгебры и математического анализа, не прибегая ни к каким многомерным умственным ухищрениям. Возьмем, к примеру, окружность. Окружность — это кривая, состоящая из всех точек на плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии (называемом радиусом) от заданной точки (центра). Как и у прямой линии, у окружности нет ни ширины, ни высоты — только длина, а потому окружность одномерна. Представьте, что вы находитесь на линии и ограничены ее пределами. Вы сможете передвигаться только вдоль этой линии, либо в одну сторону, либо в противоположную. То же и с окружностью. Хоть она и существует в пространстве, имеющем как минимум два измерения, но, если вы расположены на ней и ею же ограничены, свободы перемещения у вас не больше, чем на прямой: только туда и обратно по окружности, то есть фактически — одно измерение.

Нематематики иногда путают окружность с кругом. Но для математика круг — это совсем другой объект, включающий в себя и то, что находится в пределах окружности. Окружность — это одномерная фигура, которую можно «вложить» в двумерный объект, плоскость (упрощенно это можно изобразить, нарисовав окружность тонким карандашом на листе бумаги). Длина окружности равна 2πr, где r — ее радиус; а площадь поверхности, ограниченной окружностью, вычисляется по формуле πr2. Перейдя на одно измерение выше, получаем сферу, состоящую из всех точек, лежащих на одинаковом расстоянии от заданной, но уже в трехмерном пространстве. И опять-таки человек, далекий от математики, может спутать сферу (двумерную поверхность) с шаром, который включает в себя еще и все точки, находящиеся внутри этой поверхности. Для математика же это совершенно разные вещи. Сфера — двумерный объект, который может быть вложен в трехмерное пространство. Площадь ее поверхности равна 4πr2, а ограниченный ею объем — 4/3 πr3. По аналогии с обычной, двумерной, сферой математики, обобщая, называют окружность одномерной сферой, а сферы более высоких измерений именуют «гиперсферами», указывая их размерность. Простейшая (трехмерная) гиперсфера — это трехмерный объект, вложенный в четырехмерное пространство. Вообразить себе, как она выглядит, мы не способны, но понять, что она из себя представляет, благодаря аналогии можем. Точно так же как окружность — это кривая линия, а обычная, двумерная, сфера — искривленная поверхность, трехмерная гиперсфера — это искривленный объем. С помощью несложного математического расчета можно доказать, что этот искривленный объем описывается формулой 2π2r3. Это эквивалент площади поверхности обычной сферы, только применительно к сфере трехмерной. Эту величину также называют трехмерной гиперплощадью, или площадью поверхности трехмерной гиперсферы. Внутри трехмерной гиперсферы заключено четырехмерное пространство, гиперобъем которого равен 1/2 π2r4. Доказать истинность этих фактов о трехмерной сфере не намного сложнее, чем доказать то же для окружности или обычной сферы, и для этого вовсе не обязательно представлять себе, как трехмерная сфера выглядит.

Так же трудно нам представить, как может выглядеть четырехмерный куб, или тессеракт (хотя, как мы увидим позже, его вполне можно попытаться изобразить в двух или трех измерениях). И тем не менее совсем не сложно описать переход от квадрата к кубу, а от него — к тессеракту: у квадрата 4 вершины (угла) и 4 ребра (стороны); у куба 8 вершин, 12 ребер и 6 граней; у тессеракта 16 вершин, 32 ребра, 24 грани и 8 «ячеек» (трехмерных эквивалентов граней), состоящих из кубов. Вот именно этот последний факт и сводит к нулю все наши попытки наглядно представить себе тессеракт: восемь его ячеек расположены таким образом, что ограничивают собой четырехмерное пространство, точно так же как внутри шести квадратных граней куба заключено трехмерное пространство.

Обычно, чтобы получить хоть какое-то представление о четвертом измерении, имеет смысл провести аналогию с привычным нам третьим. Например, если задаться вопросом, как бы выглядела трехмерная гиперсфера (лежащая в четырехмерном пространстве), если бы она прошла через наше пространство, полезно рассмотреть, что происходит, когда обычная сфера проходит через плоскость.

Предположим, что эту плоскость населяют двумерные существа. Глядя вдоль поверхности своего плоского мира — а больше ничего они и не могут, ведь объема для них не существует, — они видят лишь точки или линии разной длины, которые умеют интерпретировать как двумерные фигуры. В момент соприкосновения нашей объемной сферы с их двумерным пространством они увидят ее как точку, которая постепенно вырастает в окружность, достигает максимального диаметра, равного диаметру сферы, а потом снова сжимается до точки и исчезает, когда сфера полностью проходит через плоскость. Точно так же, если трехмерная гиперсфера пересечет наше пространство, мы увидим ее как точку, которая раздувается, словно пузырь, до обычной сферы максимального диаметра, а потом сжимается и наконец исчезает. Истинную природу трехмерной гиперсферы, ее дополнительное измерение, мы увидеть не сможем, но вот ее таинственное появление, рост и исчезновение заставят нас немало удивиться.

Четырехмерные существа, попавшие в наш мир, обладали бы, с нашей точки зрения, поистине магическими способностями. Они запросто могли бы, например, взяв левый ботинок, перевернуть его в четвертом измерении и превратить в правый. Если это кажется непонятным, представьте себе двумерный ботинок — нечто вроде бесконечно тонкой подошвы, имеющей форму правой или левой ступни. Вырезаем его из бумаги, поднимаем, переворачиваем и кладем на место. И пожалуйста — был правый ботинок, стал левый! Двумерное существо такой трюк поверг бы в полное изумление, а нам, вооруженным третьим измерением, это проще простого.

В принципе, четырехмерному существу ничего не стоило бы перевернуть в четвертом измерении и целого (трехмерного) человека. Впрочем, отсутствие прецедентов, когда в человеке всё правое и левое вдруг поменялось бы местами, дает основания полагать, что в реальности такого не происходило. В рассказе «История Платтнера» Герберт Уэллс описывает удивительный случай, произошедший со школьным учителем Готфридом Платтнером, который после взрыва в кабинете химии исчезает на девять дней. Вернувшись, он представляет собой зеркальное отражение предыдущего себя, но его рассказ о том, что произошло во время его отсутствия, встречают с недоверием. Если человека действительно «перевернуть» таким образом в четвертом измерении, это мало того что вызовет у него шок при виде собственного отражения в зеркале (лица людей на удивление асимметричны), но и не лучшим образом отразится на здоровье. Многие важнейшие вещества в нашем организме, в том числе глюкоза и большинство аминокислот, имеют определенную ориентацию: например, молекулы ДНК, имеющие форму двойной спирали, всегда закручены как винт с правой резьбой. Если у всех них поменять ориентацию, мы умрем от истощения — ведь в таком преображенном виде многие из необходимых питательных веществ растительного и животного происхождения наш организм просто не сможет усвоить.

Математики начали проявлять интерес к четвертому пространственному измерению в первой половине XIX века, после работ немецкого ученого Августа Фердинанда Мёбиуса. В первую очередь его помнят как изобретателя объекта, позже названного в его честь, — ленты Мёбиуса — и как пионера топологии. Он же первым пришел к выводу, что в четвертом измерении трехмерный объект можно повернуть так, чтобы получить его зеркальное изображение. Во второй половине XIX века среди математиков, изучавших новую область — многомерную геометрию, — выделялись трое ученых: швейцарец Людвиг Шлефли, англичанин Артур Кэли и немец Бернхард Риман.

Свой главный труд Theorie der Vielfachen Kontinuität («Теория многократной континуальности») Шлефли начал со слов: «Настоящий трактат… это попытка обосновать и выработать новую ветвь анализа, которая, как бы являясь аналитической геометрией n измерений, содержит таковую для плоскости и пространства в качестве частных случаев для n = 2, 3»[1]. Далее он описал многомерные аналоги многоугольников и многогранников, назвав их «полисхемами». Сейчас для них используют термин «политопы»[2], придуманный немецким математиком Рейнгольдом Хоппе и введенный в английский язык Алисией Буль Стотт, дочерью английского математика и логика, автора булевой алгебры Джорджа Буля и Мэри Эверест Буль, математика-самоучки и автора книг о математике.

Также Шлефли принадлежит заслуга открытия многомерных аналогов платоновых тел. Под платоновым телом понимают выпуклый многогранник (то есть все углы у него направлены наружу), каждая из граней которого — правильный многоугольник, а в каждом из углов сходится одинаковое количество граней. Всего таких тел пять: куб, тетраэдр, октаэдр, (12-гранный) додекаэдр и (20-гранный) икосаэдр. Четырехмерные эквиваленты платоновых тел — это выпуклые правильные четырехмерные политопы. Всего Шлефли открыл шесть таких четырехмерных политопов и дал им названия по количеству составляющих их ячеек. Простейший, пятиячейник, состоит из 5 тетраэдрических ячеек, 10 треугольных граней, 10 ребер и 5 вершин и является аналогом тетраэдра. Кроме него есть восьмиячейник, или тессеракт, и «двойственный» ему шестнадцатиячейник, который получается, если заменить ячейки тессеракта вершинами, грани — ребрами, а ребра — гранями. Шестнадцатиячейник имеет 16 тетраэдрических ячеек, 32 треугольные грани, 24 ребра и 8 вершин и представляет собой четырехмерный аналог октаэдра. Еще два четырехмерных политопа — стодвадцатиячейник, аналог додекаэдра, и шестисотячейник, аналог икосаэдра. И наконец, есть двадцатичетырехячейник c 24 октаэдрическими ячейками, у которого нет аналога в трехмерном пространстве. Любопытно, что, как установил Шлефли, количество выпуклых правильных политопов во всех более высоких измерениях одинаково — в каждом по три.


[1] Цитируется по изданию: Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций. Под ред. А. Н. Колмогорова, А. П. Юшкевича. М.: Наука, 1981.

[2] В русском языке для многомерных политопов устоялось название из стереометрии — «многогранник» (или еще «полиэдр»), так как математики называют многомерные ячейки гранями. — Прим. науч. ред.